III Olimpiada imeni I.F.Sharygina

Третья Всероссийская олимпиада по геометрии имени Игоря Федоровича Шарыгина (2007 год)

В заочном туре олимпиады могли участвовать школьники 8–11 классов. В списке задач после порядкового номера каждой задачи указано, учащимся каких классов (на момент проведения олимпиады) она предназначена. Впрочем, можно было решать также задачи и для более старших классов.

Условия задач заочного тура

(8) Треугольник разрезан на несколько (не менее двух) треугольников. Один из них равнобедренный (не равносторонний), а остальные — равносторонние. Найдите углы исходного треугольника.
(8) Каждая диагональ четырехугольника разбивает его на два равнобедренных треугольника. Верно ли, что четырехугольник — ромб?
(8–9) Отрезки, соединяющие внутреннюю точку выпуклого неравностороннего n-угольника с его вершинами, делят n-угольник на n равных треугольников. При каком наименьшем n это возможно?
(8) Существует ли такой параллелограмм, что все точки попарных пересечений биссектрис его углов лежат вне параллелограмма?
Невыпуклый n-угольник разрезали прямолинейным разрезом на три части, после чего из двух частей сложили многоугольник, равный третьей части. Может ли n равняться
а) (8) пяти?
б) (8–10) четырем?
а) (8–9) Сколько осей симметрии может иметь клетчатый многоугольник, т.е. многоугольник, стороны которого лежат на линиях листа бумаги в клетку? (укажите все возможные значения)
б) (10–11) Сколько осей симметрии может иметь клетчатый многогранник, т.е. многогранник, составленный из одинаковых кубиков, примыкающих друг к другу целыми гранями?
(8–9) Выпуклый многоугольник описан около окружности. Точки касания его сторон с окружностью образуют многоугольник с таким же набором углов (порядок углов может быть другим). Верно ли, что многоугольник правильный?
(8–9) Три окружности проходят через точку P, а вторые точки их пересечения A, B, C лежат на одной прямой. A₁, B₁, C₁ — вторые точки пересечения прямых AP, BP, CP с соответствующими окружностями. C₂ — точка пересечения прямых AB₁ и BA₁. A₂, B₂ определяются аналогично. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равны.
(8–9) Два выпуклых четырехугольника таковы, что стороны каждого лежат на серединных перпендикулярах к сторонам другого. Найдите их углы.
(8–9) Найдите геометрическое место центров правильных треугольников, стороны которых проходят через 3 заданные точки A, B, C (т.е. на каждой стороне или ее продолжении лежит ровно одна из заданных точек).
(8–10) Мальчик с папой стоят на берегу моря. Если мальчик встанет на цыпочки, его глаза будут на высоте 1 м от поверхности моря, а если сядет папе на плечи, то на высоте 2 м. Во сколько раз дальше он будет видеть во втором случае? (Найдите ответ с точностью до 0,1, радиус Земли считайте равным 6000 км.)
(9–10) Дан прямоугольник ABCD и точка P. Прямые, проходящие через A и B и перпендикулярные, соответственно, PC и PD, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая PQ перпендикулярна AB.
(9–10) На стороне AB треугольника ABC взяты точки X, Y, такие что AX=BY. Прямые CX и CY вторично пересекают описанную окружность треугольника в точках U и V. Докажите, что все прямые UV проходят через одну точку.
(9–11) В трапеции с основаниями AD и BC P и Q — середины диагоналей AC и BD, соответственно. Докажите, что, если ∠DAQ=∠CAB, то ∠PBA=∠DBC.
(9–11) В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA', BB' и CC'. Пусть A'B'∩CC'=P и A'C'∩BB'=Q. Докажите, что ∠PAC=∠QAB.
(9–11) На сторонах угла взяты точки A, B. Через середину M отрезка AB проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках A₁, B₁, другая — в точках A₂, B₂. Прямые A₁B₂ и A₂B₁ пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что M — середина PQ.
(9–11) Какие треугольники можно разрезать на три треугольника с равными радиусами описанных окружностей?
(9–11) Найдите геометрическое место вершин треугольников с заданными ортоцентром и центром описанной окружности.
(10–11) В угол A, равный α, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках B и C. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке M, пересекает отрезки AB и AC в точках Р и Q, соответственно. При каком наименьшем α возможно неравенство S_PAQ<S_BMC?
(11) Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 1. Из трех углов при вершине пирамиды два — прямые. Найдите наибольший объем пирамиды.
(11) На плоскости лежат три трубы (круговые цилиндры одного размера в обхвате 4 м). Две из них лежат параллельно и, касаясь друг друга по общей образующей, образуют над плоскостью тоннель. Третья, перпендикулярная к первым двум, вырезает в тоннеле камеру. Найдите площадь границы этой камеры.

Третья Всероссийская олимпиада по геометрии имени Игоря Федоровича Шарыгина (2007 год) В заочном туре олимпиады могли участвовать школьники 8–11 классов. В списке задач после порядкового номера каждой задачи указано, учащимся каких классов (на момент проведения олимпиады) она предназначена. Впрочем, можно было решать также задачи и для более старших классов. Условия задач заочного тура (8) Треугольник разрезан на несколько (не менее двух) треугольников. Один из них равнобедренный (не равносторонний), а остальные — равносторонние. Найдите углы исходного треугольника. (8) Каждая диагональ четырехугольника разбивает его на два равнобедренных треугольника. Верно ли, что четырехугольник — ромб? (8–9) Отрезки, соединяющие внутреннюю точку выпуклого неравностороннего n-угольника с его вершинами, делят n-угольник на n равных треугольников. При каком наименьшем n это возможно? (8) Существует ли такой параллелограмм, что все точки попарных пересечений биссектрис его углов лежат вне параллелограмма? Невыпуклый n-угольник разрезали прямолинейным разрезом на три части, после чего из двух частей сложили многоугольник, равный третьей части. Может ли n равняться а) (8) пяти? б) (8–10) четырем? а) (8–9) Сколько осей симметрии может иметь клетчатый многоугольник, т.е. многоугольник, стороны которого лежат на линиях листа бумаги в клетку? (укажите все возможные значения) б) (10–11) Сколько осей симметрии может иметь клетчатый многогранник, т.е. многогранник, составленный из одинаковых кубиков, примыкающих друг к другу целыми гранями? (8–9) Выпуклый многоугольник описан около окружности. Точки касания его сторон с окружностью образуют многоугольник с таким же набором углов (порядок углов может быть другим). Верно ли, что многоугольник правильный? (8–9) Три окружности проходят через точку P, а вторые точки их пересечения A, B, C лежат на одной прямой. A₁, B₁, C₁ — вторые точки пересечения прямых AP, BP, CP с соответствующими окружностями. C₂ — точка пересечения прямых AB₁ и BA₁. A₂, B₂ определяются аналогично. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равны. (8–9) Два выпуклых четырехугольника таковы, что стороны каждого лежат на серединных перпендикулярах к сторонам другого. Найдите их углы. (8–9) Найдите геометрическое место центров правильных треугольников, стороны которых проходят через 3 заданные точки A, B, C (т.е. на каждой стороне или ее продолжении лежит ровно одна из заданных точек). (8–10) Мальчик с папой стоят на берегу моря. Если мальчик встанет на цыпочки, его глаза будут на высоте 1 м от поверхности моря, а если сядет папе на плечи, то на высоте 2 м. Во сколько раз дальше он будет видеть во втором случае? (Найдите ответ с точностью до 0,1, радиус Земли считайте равным 6000 км.) (9–10) Дан прямоугольник ABCD и точка P. Прямые, проходящие через A и B и перпендикулярные, соответственно, PC и PD, пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая PQ перпендикулярна AB. (9–10) На стороне AB треугольника ABC взяты точки X, Y, такие что AX=BY. Прямые CX и CY вторично пересекают описанную окружность треугольника в точках U и V. Докажите, что все прямые UV проходят через одну точку. (9–11) В трапеции с основаниями AD и BC P и Q — середины диагоналей AC и BD, соответственно. Докажите, что, если ∠DAQ=∠CAB, то ∠PBA=∠DBC. (9–11) В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA', BB' и CC'. Пусть A'B'∩CC'=P и A'C'∩BB'=Q. Докажите, что ∠PAC=∠QAB. (9–11) На сторонах угла взяты точки A, B. Через середину M отрезка AB проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках A₁, B₁, другая — в точках A₂, B₂. Прямые A₁B₂ и A₂B₁ пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что M — середина PQ. (9–11) Какие треугольники можно разрезать на три треугольника с равными радиусами описанных окружностей? (9–11) Найдите геометрическое место вершин треугольников с заданными ортоцентром и центром описанной окружности. (10–11) В угол A, равный α, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках B и C. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке M, пересекает отрезки AB и AC в точках Р и Q, соответственно. При каком наименьшем α возможно неравенство S_PAQ<S_BMC? (11) Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 1. Из трех углов при вершине пирамиды два — прямые. Найдите наибольший объем пирамиды. (11) На плоскости лежат три трубы (круговые цилиндры одного размера в обхвате 4 м). Две из них лежат параллельно и, касаясь друг друга по общей образующей, образуют над плоскостью тоннель. Третья, перпендикулярная к первым двум, вырезает в тоннеле камеру. Найдите площадь границы этой камеры.
©МЦНМО, 2008