Семинар по геометрии имени И.Ф. Шарыгина. 25 сентября 2008 года

Тема: «Несколько задач о разрезаниях плоских многоугольников»

Докладчик: Михаил Борисович Скопенков (МГУ)

Аннотация доклада:

Доклад посвящен нескольким задачам о разрезаниях плоских многоугольников. Формулировки и доказательства большинства результатов элементарны.

Теорема 1. Пусть треугольник можно разрезать на 2 части, из которых можно сложить треугольник, симметричный исходному относительно некоторой прямой. Тогда углы исходного треугольника соизмеримы.

Будут приведены неожиданные примеры треугольников, удовлетворяющие условию теоремы 1. Теорема 1 отвечает на вопрос Болтянского 1953 года.

Теорема 2. Пусть треугольник можно разрезать на конечное число треугольников, подобных исходному, но ориентированных противоположным образом. Тогда углы исходного треугольника соизмеримы.

Доказательства теорем 1 и 2 основаны на обобщении инварианта Хадвигера равносоставленности плоских многоугольников. Мы также приводим новое простое доказательство следующей теоремы:

Теорема 3 (Ласкович-Секереш-Фрайлинг-Ринн, 1994). Квадрат можно разрезать на прямоугольники с отношением сторон z тогда и только тогда, когда все комплексные числа, алгебраически сопряженные числу z, имеют положительную действительную часть.

Доказательство теоремы 3 основано на физической интерпретации: каждому разрезанию квадрата на прямоугольники мы сопоставим схему переменного тока.

В докладе будет сформулировано несколько задач, решения которых неизвестны автору.

Приглашаются постоянные участники семинара и все желающие!