\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{amssymb,amsmath,textcomp,amsthm, multicol}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{problem}{}[section]
\pagestyle{empty}
\textwidth=500pt
\textheight=770pt
\oddsidemargin=20pt
\hoffset=-2cm
\topmargin=-15mm

\begin{document}






\vspace{10mm}
\begin{center}
{\Large \textit{ \textbf{\underline{ Геометрия олимпиады им. Леонарда Эйлера }}}}
\end{center}

{\tt В скобках после номера задачи указано на какой по счёту олимпиаде она предлагалась. Решения всех задач можно найти на официальной странице олимпиады: matol.ru.}

\section{Дистанционный тур}

\begin{problem}[{\bf 1}]
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ $(AC = BC)$. 
На сторонах $BC, AC, AB$ отмечены точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. 
Оказалось, что $C_1B_1$ перпендикулярно $AC$, $B_1A_1$ перпендикулярно $BC$ и $B_1A_1 = B_1C_1$. 
Докажите, что $A_1C_1$ перпендикулярно $AB$. 
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 1}]
 Две биссектрисы треугольника пересекаются под углом 60 градусов. Докажите, что один из углов этого треугольника равен 60 градусам.
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 1}]
  Могут ли расстояния от точки плоскости до вершин некоторого квадрата быть равными 1, 1, 2 и 3?
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 2}]
 Точка $D$ лежит на гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, но не совпадает с ее серединой. Докажите, что среди отрезков $AD$, $BD$ и $CD$ нет равных.
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 2}]
 В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ в два раза меньше стороны $AB$ и образует с ней угол в 40 градусов. Найдите угол $ABC$.
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 2}]
В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, вчетверо короче гипотенузы. Найдите острые углы треугольника. 
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 2}]
Вот четыре свойства четырёхугольников:

(1) противоположные стороны попарно равны;

(2) две противоположных стороны параллельны;

(3) какие-то две соседние стороны равны;

(4) диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения в одном и том же отношении. 

Один из двух данных четырёхугольников обладает какими-то двумя из этих свойств, другой — двумя остальными. Докажите, что один из этих двух четырёхугольников --- ромб.
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 3}]
 Точки $E$ и $F$ --- середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно прямоугольника $ABCD$. Докажите, что $AE<2EF$.
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 3}]
 Внутри угла $AOB$, равного $120^{\circ}$, проведены лучи $OC$ и $OD$ так, что каждый из них является биссектрисой какого-то из углов, 
получившихся на чертеже. Найдите величину угла $AOC$. Укажите все возможные варианты.
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 3}]
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $E$, а на биссектрисе $BD$ --- точка $F$ таким образом, что $EF||AC$ и $AF=AD$. Докажите, что $AB=BE$. 
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 3}]
 Разделите прямоугольный треугольник с углом $30^{\circ}$ 
на два меньших треугольника так, чтобы какая-то медиана одного из этих треугольников была параллельна одной из биссектрис второго треугольника.
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 3 }]
 В пятиугольнике $ABCDE$ $AB=BC=CD=DE$, $\angle B=96^{\circ}$ и $\angle C=\angle D= 108^{\circ}$. Найдите угол $E$.
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 4}]
 В треугольнике $ABC$ угол $C$ втрое больше угла $A$, а сторона $AB$ вдвое больше стороны $BC$. Докажите, что угол $ABC$ равен 60 градусам.
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 4}]
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$, и на ее продолжении за точку $L$ выбрана точка $K$, для которой $LK=AB$. 
Оказалось, что $AK||BC$. Докажите, что $AB>BC$. 
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 4}]
 Внутри острого угла $BAC$ взяли такую точку $D$, что угол $CAD$ вдвое больше угла $BAD$. Могла ли точка $D$ оказаться вдвое дальше от прямой $AC$, чем от прямой $AB$?
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 4}]
 В треугольнике $ABC$ $AC=1$, $AB=2$, $O$ --- точка пересечения биссектрис. 
Отрезок, проходящий через точку $O$ параллельно стороне $BC$, пересекает стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Найдите периметр треугольника $AKM$.
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 4}]
Можно ли из пяти одинаковых прямоугольников с периметром 10 составить один прямоугольник с периметром 22? 
\end{problem}


\section{Второй тур}

\begin{problem}[{\bf 1}]
 Точка $K$ --- середина гипотенузы 
$AB$ прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$. 
Точки $L$ и $M$ выбраны на катетах $BC$ и $AC$ соответственно так, что $BL=CM$. 
Докажите, что треугольник $LMK$ --- также прямоугольный равнобедренный.
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 1}]
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ 
некоторая точка диагонали $AC$ принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам $AB$ и 
$CD$, а некоторая точка диагонали $BD$ принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам $AD$ и $BC$. 
Докажите, что $ABCD$ --- прямоугольник. 
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 2}]
 На гипотенузе $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ так, 
что $AB=AK$. Отрезок $AK$ пересекает биссектрису $CL$ в ее середине. Найдите острые углы треугольника $ABC$.
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 2}]
 Биссектрисы углов $A$ и $C$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $P$, а биссектрисы углов $B$ и $D$ — в точке $Q$, отличной от $P$. 
Докажите, что если отрезок $PQ$ параллелен основанию $AD$, то трапеция равнобокая.
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 3}]
 На доске нарисованы три четырёхугольника. Петя сказал: «На доске нарисованы по крайней мере две трапеции». Вася сказал: «На доске нарисованы по крайней мере два прямоугольника». Коля сказал: «На доске нарисованы по крайней мере два ромба». Известно, что один из мальчиков сказал неправду, а двое других — правду. Докажите, что среди нарисованных на доске четырёхугольников есть квадрат. (Напомним, что трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.)
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 3}]
 Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$ такой, что $AD=AB+CD$. 
Оказалось, что биссектриса угла $A$ проходит через середину стороны $BC$. Докажите, что биссектриса угла $D$ также проходит через середину $BC$.
\end{problem}


\begin{problem}[{\bf 3}]
В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ --- середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно. 
На медиане $BM$ выбрана точка $P$, не лежащая на $CN$. Оказалось, что $PC=2PN$. Докажите, что $AP=BC$.  
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 4}]
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ такова, что угол $ABD$ --- прямой и $BC+CD=AD$. Найдите отношение оснований $AD:BC$. 
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 4}]
 В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ углы $ABC$ и $ADC$ прямые. 
На сторонах $AB, BC, CD, DA$ взяты точки $K, L, M, N$ соответственно так, что $KLMN$ --- прямоугольник. 
Докажите, что середина диагонали $AC$ равноудалена от прямых $KL$ и $MN$.
\end{problem}


\section{Финал}

\begin{problem}[{\bf 1}]
 В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны. 
Точка $D$ внутри треугольника такова, что угол $ADC$ вдвое больше угла $ABC$. 
Докажите, что удвоенное расстояние от точки $B$ до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом $ADC$, равно $AD+DC$.
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 1}]
 В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ выполнены соотношения $AB=BD$; $\angle ABD=\angle DBC$. 
На диагонали $BD$ нашлась точка $K$ такая, что $BK=BC$. Докажите, что $\angle KAD=\angle KCD$.
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 2}]
В четырехугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна диагонали $AC$ и перпендикулярна стороне $AD$, а диагональ 
$AC$ перпендикулярна стороне $CD$. 
На стороне $AD$ взята точка $K$ такая, что $AC=AK$. Биссектриса угла $ADC$ пересекает $BK$ в точке $M$. 
Найдите угол $ACM$. 
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 2}]
 В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ углы $B$ и $D$ равны, $CD=4BC$, а биссектриса угла $A$ проходит через середину стороны $CD$. 
Чему может быть равно отношение $\frac{AD}{AB}$?
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 3}]
 Внутри выпуклого четырехугольника $ABCD$, в котором $AB=CD$, выбрана точка $P$ таким образом, что сумма углов $PBA$ и $PCD$ равна 180 градусам. 
Докажите, что $PB+PC<AD$.
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 3}]
 Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ таков, что $AB||CD$, $BC||AD$, $AC||DE$, $CE\perp BC$. Докажите, что $EC$ --- биссектриса угла $BED$. 
\end{problem}


\begin{problem}[{\bf 4}]
На стороне $BC$ треугольника 
$ABC$ взята точка $D$ таким образом, что серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ 
проходит через центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Докажите, что этот перпендикуляр проходит через вершину треугольника $ABC$. 
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 4}]
 Существуют ли два многоугольника (не обязательно выпуклых), обладающих следующим свойством: прикладывая их друг к другу (без наложения), можно получить многоугольники с любым числом сторон от 3 до 100 включительно?
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf 4}]
 Углы треугольника $ABC$ удовлетворяют условию $2\angle A+\angle B=\angle C$. 
Внутри этого треугольника на биссектрисе угла $A$ выбрана точка $K$ такая, что $BK=BC$. 
Докажите, что $\angle KBC=2\angle KBA$.
\end{problem}


\end{document}
