\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{amssymb,amsmath,textcomp,amsthm,multicol}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{problem}{}
\pagestyle{empty}
\textwidth=500pt
\textheight=750pt
\oddsidemargin=20pt
\hoffset=-2cm
\topmargin=-15mm
\newcommand{\ls}{\left(}
\newcommand{\rs}{\right)}
\begin{document}


\begin{center}
{\Large \textit{ \textbf{\underline{ Геометрия регионального тура 2012-2013}}}}


\end{center}




{\bf 9 класс.}

{\it Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$, 
касается его сторон $BC$, $AC$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$. Пусть $B_1H$ --- высота треугольника $A_1B_1C_1$. Докажите, что точка $H$ лежит на биссектрисе угла $CAB$.}


\begin{center}
 \includegraphics[scale=1.2]{9grade}
\end{center}

 
 

{\it Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекает прямые $AB$ и $BC$ в точках $B_1$ и $B_2$, 
а серединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекает прямые $AC$ и $BC$ в точках $C_1$ и $C_2$. 
Окружности, описанные около треугольников $BB_1B_2$ и $CC_1C_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Доказать, что $O$, $P$ и $Q$ лежат на одной прямой($O$ --- центр описанной $ABC$).}

\begin{center}
 \includegraphics[scale=1.5]{9-2grade}
\end{center}


\newpage
{\bf 10 класс.}

{\it В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. 
Окружность $\omega$, 
описанная около треугольника $ABC$, 
пересекает прямую $A_1C_1$ в точках $A'$ и $C'$. 
Касательные к $\omega$, проведённые в точках $A'$ и $C'$, пересекаются в точке $B'$. 
Докажите, что прямая $BB'$ проходит через центр окружности $\omega$.}

\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.9]{10grade1}
\end{center}


{\it К двум непересекающимся окружностям $\omega_1$ и $\omega_2$ проведены три общие касательные --- 
две внешние, $a$ и $b$, и одна внутренняя, $c$. Прямые $a$, $b$, $c$ касаются окружности $\omega_1$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно, 
а окружности $\omega_2$ - в точках $A_2$, $B_2$, $C_2$ соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ равно отношению радиусов 
$\omega_1$ и $\omega_2$.}


 
\begin{center}
 \includegraphics[scale=1.3]{10-2grade}
\end{center}
 

\newpage
{\bf 11 класс.}

{\it В окружность вписан остроугольный треугольник $ABC$ в котром $AB>AC$.
Пусть $P$ и $Q$ --- середины меньшей и большей дуг $AC$ соответственно. Пусть
$M$ --- основание перпендикуляра, опущенного из точки $Q$ на отрезок $AB$.
Докажите что окружность, описанная около треугольника $BMC$, делит
пополам отрезок $BP$.}

\begin{center}
 \includegraphics[scale=1.2]{11grade}
\end{center}



{\it Три попарно непересекающиеся окружности 
$\omega_x$, $\omega_y$, $\omega_z$ радиусов 
$r_x$, $r_y$, $r_z$ соответственно лежат 
по одну сторону от прямой $t$ и касаются её в точках 
$X$, $Y$, $Z$ соответственно. Известно, что 
$Y$ --- середина отрезка $XZ$, 
$r_x=r_z=r$, а $r_y>r$. Пусть 
$p$ --- одна из общих внутренних касательных 
к окружностям $\omega_x$ и $\omega_y$, а $q$ --- 
одна из общих внутренних касательных к 
окружностям $\omega_y$ и $\omega_z$.  
В пересечении прямых $p$, $q$, $t$ образовался 
неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус 
вписанной в него окружности равен $r$.}



\end{document}
