На главную
заочный тур:
условия в формате HTML или в формате PDF (78КБ),
список приглашенных на финальный тур

финальный тур:
условия,
победители,
списки оргкомитета и жюри

В память о выдающемся деятеле российского математического образования, всемирно известном знатоке и патриоте элементарной геометрии Игоре Федоровиче Шарыгине (1937–2004) ряд российских научных организаций и учебных заведений решили ежегодно, начиная с 2005 года, проводить геометрическую олимпиаду. В оргкомитет и жюри олимпиады вошли известные ученые, педагоги, энтузиасты математического просвещения из разных российских регионов.

Здесь приведены условия и задачи первого, заочного тура первой такой олимпиады:
в формате HTML (или в формате PDF (78КБ)).


Финальный тур Первой Всероссийской олимпиады по геометрии имени Игоря Федоровича Шарыгина состоялся 24 сентября 2005 года в МЦНМО. Олимпиада была подготовлена и проведена Департаментом образования города Москвы, Математическим институтом им В.А.Стеклова РАН, Московским центром непрерывного математического образования, Открытым лицеем ВЗМШ и Московским институтом открытого образования, при поддержке компьютермаркета «НИКС» и АНО «Школа нового поколения».

В финальном туре приняли участие 57 школьников, причем ровно по 19 в каждой из параллелей (честное слово, оргкомитет не подбирал это специально!). На финальный тур приглашались:

Публикуем варианты финального тура, списки оргкомитета и жюри, и списки победителей олимпиады.


Условия задач финального тура

9 класс

1. (А.А.Заславский.) Четырехугольник ABCD вписан в окружность, центр O которой лежит внутри него. Доказать, что, если угол BAO равен углу DAC, то диагонали четырехугольника перпендикулярны.

2. (Л.А.Емельянов.) Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.

3. (И.Ф.Шарыгин.)Дана окружность и точки A, B на ней. Изобразить множество середин отрезков, один из концов которых лежит на одной из дуг AB, а другой на второй.

4. (А.Г.Мякишев.) Пусть P — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, M — точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, O — точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, H — точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников APD и BPC, APB и CPD. Доказать, что M — середина OH.

5. (Б.Р.Френкин.) Дано, что ни для какой стороны треугольника из проведённых к ней высоты, биссектрисы и медианы нельзя составить треугольник. Доказать, что один из углов треугольника больше чем 135o.

10 класс

1. (Л.А.Емельянов.) Дан выпуклый четырехугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырехугольника. Доказать, что из четырех построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырехугольника.

2. (А.В.Шаповалов.) Треугольник можно разрезать на три подобных друг другу треугольника. Доказать, что его можно разрезать на любое число подобных друг другу треугольников.

3. (А.А.Заславский.) В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P. Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.

4. (Вим Пайлс, Нидерланды) На плоскости даны два отрезка A1B1 и A2B2, причем A2B2/A1B1=k<1. На отрезке A1A2 взята точка A3, а на продолжении этого отрезка за точку А2 — точка А4, так что А3А23А14А24А1=k. Аналогично, на отрезке В1В2 берется точка В3, а на продолжении этого отрезка за точку В2 — точка В4, так что В3В23В14В24В1=k. Найти угол между прямыми А3В3 и А4В4.

5. (А.А.Заславский.) Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках X, Y, расстояние между которыми также равно 1. Из точки C одной окружности проведены касательные CA, CB к другой. Прямая CB вторично пересекает первую окружность в точке A'. Найти расстояние AA'.

6. (А.А.Заславский.) Пусть H — ортоцентр треугольника ABC, X — произвольная точка. Окружность с диаметром XH вторично пересекает прямые AH, BH, CH в точках A1, B1, C1, а прямые AX, BX, CX в точках A2, B2, C2. Доказать, что прямые A1A2, B1B2, C1C2 пересекаются в одной точке.

11 класс

1. (А.А.Заславский.) Точки A1, B1, C1 — середины сторон правильного треугольника ABC. Три параллельные прямые, проходящие через A1, B1, C1, пересекают, соответственно, прямые B1C1, C1A1, A1B1 в точках A2, B2, C2. Доказать, что прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке, лежащей на описанной около треугольника ABC окружности.

2. (А.Г.Мякишев.) Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Прямые BC и AD пересекаются в точке O, причем B лежит на отрезке OC и A на отрезке OD. I — центр вписанной окружности треугольника OAB, J — центр вневписанной окружности треугольника OCD, касающейся стороны CD и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка IJ на прямые BC и AD, пересекают соответствующие стороны четырехугольника (не продолжения) в точках X и Y. Доказать, что отрезок XY делит периметр четырехугольника ABCD пополам, причем из всех отрезков с этим свойством и концами на BC и AD XY имеет наименьшую длину.

3. (А.А.Заславский.) Внутри вписанного четырехугольника ABCD существует точка K, расстояния от которой до сторон ABCD пропорциональны этим сторонам. Доказать, что K — точка пересечения диагоналей ABCD.

4. (И.Ф.Шарыгин.) В треугольнике ABC угол A равен альфа, BC=a. Вписанная окружность касается прямых AB и AC в точках M и P. Найти длину хорды, высекаемой на прямой MP окружностью с диаметром BC.

5. (В.Ю.Протасов.) На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдется точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.

6. (И.И.Богданов.) Сфера, вписанная в тетраэдр ABCD, касается его граней в точках A', B', C', D'. Отрезки AA' и BB' пересекаются, и точка их пересечения лежит на вписанной сфере. Доказать, что отрезки CC' и DD' тоже пересекаются на вписанной сфере.


Список победителей финального тура

9 класс

I диплом не вручался

II диплом

Андреев Михаил школа № 57 г.Москва

Бабичев Дмитрий школа № 5 г.Долгопрудный

Котельский Артем школа № 57 г.Москва

Марченко Евгений гимназия № 1543 г.Москва

Окунев Алексей школа № 57 г.Москва

Савин Арсений школа № 57 г.Москва

Семенцов-Огиевский Владимир школа № 5 г. Долгопрудный

III диплом

Арутюнов Андрей школа № 57 г. Москва

Омельяненко Виктор школа № 38 г.  Белгород (7 класс)

Пинчук Денис школа № 5 г. Долгопрудный

Стаценко Максим школа № 57 г. Москва

Семенов Иван школа № 5 г. Долгопрудный

Тихомиров Павел школа № 5 г. Долгопрудный

Токмаков Петр школа № 57 г. Москва

Чекалкин Серафим гимназия №1543 г. Москва

Щепин Константин школа № 57 г. Москва


10 класс

I диплом

Махлин Игорь гимназия № 1543 г. Москва

Сафин Станислав лицей ИСТЭк г. Краснодар

II диплом

Иглицкий Михаил школа № 218 г. Москва

Лысов Михаил лицей «Вторая школа» г. Москва

Махлин Антон гимназия № 1543 г. Москва

Микушкин Марат школа № 79 г. Ульяновск

Николаенко Станислав школа №64 г. Донецк

Осечкина Мария школа № 9 г. Пермь

Осипов Илья школа № 57 г. Москва

III диплом

Киямов Рустем лицей-интернат № 7 г. Казань

Спасибко Кирилл гимназия №1543 г. Москва

Шульцева Ольга школа № 27 г. Курган

Юрова Екатерина гимназия № 1543 г. Москва


11 класс

I диплом

Авксентьев Евгений гимназия № 5 г. Ростов-на-Дону

Громазин Владимир КФМЛ г. Киров

Девятов Ростислав лицей «Вторая школа» г. Москва

II диплом

Бабичева Татьяна школа № 5 г. Долгопрудный

Гончарук Наталья школа № 27 г. Харьков

Демидова Анастасия школа № 57 г. Москва

Польской Денис школа № 82 г. Черноголовка

III диплом

Голубев Кирилл школа № 165 г. Нижний Новгород

Казачок Марина школа № 5 г. Долгопрудный

Паунов Александр лицей «Вторая школа» г. Москва

Печенкин Николай школа № 192 г. Москва


Специальным призом за решение трудной задачи награжден ученик 9 класса школы «Олонлог» г. Улан-Батор Сумьяо Баасандоржийн.

Специальным призом им. И.Ф.Шарыгина за изящное решение трудной задачи награжден ученик 11 класса лицея «Вторая школа» г. Москва Девятов Ростислав.


В подготовке и проведении первой олимпиады принимали участие:

  • Акопян Арсений Владимирович
  • Андреев Николай Николаевич
  • Андреева Анна Николаевна
  • Арнольд Виталий Дмитриевич
  • Берштейн Александр Лазаревич
  • Блинков Александр Давидович
  • Богданов Илья Игоревич
  • Волчкевич Максим Анатольевич
  • Галламов Мансур Муллагаянович
  • Гарбер Алексей Игоревич
  • Голубев Виктор Иванович
  • Гордин Рафаил Калманович
  • Горская Алена Сергеевна
  • Долбилин Николай Петрович
  • Емельянов Лев Александрович
  • Заславский Алексей Александрович
  • Иванищук Александр Владимирович
  • Калинин Дмитрий Александрович
  • Каменева Татьяна Константиновна
  • Караваева Татьяна Васильевна
  • Кожевников Павел Александрович
  • Маркелов Сергей Валерьевич
  • Мякишев Алексей Геннадьевич
  • Петухов Алексей Владимирович
  • Протасов Владимир Юрьевич
  • Протасова Ирина Сергеевна
  • Раббот Жозеф Михайлович
  • Тарасов Алексей Сергеевич
  • Терешин Дмитрий Александрович
  • Френкин Борис Рафаилович
  • Фурин Виктор Владимирович
  • Чагина Анастасия Викторовна
  • Челноков Григорий Ривенович
  • Шарыгин Дмитрий Игоревич
  • Ященко Иван Валериевич
олимпиады кружки базы задач книги и журналы семинар
персоналии софт форум ссылки
©МЦНМО, 2008