\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{amssymb,amsmath,textcomp,amsthm,multicol}
\usepackage[colorlinks, urlcolor=green, dvipdfm]{hyperref}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{problem}{}
\pagestyle{empty}
\textwidth=500pt
\textheight=750pt
\oddsidemargin=20pt
\hoffset=-2cm
\topmargin=-35mm
\newcommand{\ls}{\left(}
\newcommand{\rs}{\right)}
\begin{document}

\begin{flushleft}

\hspace{7cm}
%start=18.08.2012
%update=18.08.2012
%lastupdate=09.09.2012
\end{flushleft}
\vspace{-9pt}
\hrule
\vspace{30pt}

\begin{center}

{\Large \textit{ \textbf{ \underline{Прямая Эйлера}}}}
\end{center}

\begin{problem}
Вспомните, почему ортоцентр $H$, точка пересечения медиан $M$, центр описанной окружности $O$ лежат на одной прямой. 
\end{problem}

\begin{problem}
Постройте треугольник $ABC$ по центру описанной окружности $O$, точке пересечения медиан $M$ и основанию $H$ высоты $CH$. 
\end{problem}


\begin{problem}
$M$ -- центроид треугольника $ABC$, в котором $\angle ABC=60^{\circ}$; известно, что $\angle AMC=60^{\circ}$. 
Докажите, что треугольник $ABC$ --- равносторонний. 
\end{problem}

\begin{problem}
В треугольнике $ABC$ $\angle B=60^{\circ}$. Докажите, что прямая Эйлера отсекает от $\triangle ABC$ равносторонний треугольник.  
\end{problem}

\begin{problem}
 Докажите, что прямая Эйлера треугольника $ABC$ параллельна стороне $BC$ $\Leftrightarrow \tg B \tg C = 3$.
\end{problem}

\begin{problem}
 Let $ABC$ be a triangle such that $AB\neq AC$. 
We denote its orthocentre by $H$, its circumcentre by $O$ and the midpoint of $BC$ by $D$. 
The extensions of $HD$ and $AO$ meet in $P$. Prove that triangles $AHP$ and $ABC$ have the same centroid.
\end{problem}


\begin{problem}
Прямая Эйлера треугольника параллельна одной из его биссектрис. Докажите, что либо треугольник равнобедренный, либо один из его углов равен $120^{\circ}$. 
\end{problem}



\begin{problem}[{\bf real jem!}]
В треугольнике $ABC$ угол $\angle A=120^{\circ}$. Докажите, что $OH = AB + AC$. 
\end{problem}


\begin{problem}
$T$ --- точка Торричелли $\triangle ABC$. 

а) прямая Эйлера треугольника $ATB$ параллельна прямой $CT$; 

б) прямые Эйлера треугольников $ATC$, $BTC$, $ATB$, $ABC$ конкурентны. 
\end{problem}

\begin{problem}
 Докажите, что три окружности, каждая из которых проходит через вершину треугольника, основание его
высоты, опущенной из этой вершины, и касается радиуса описанной окружности, проведенного к данной вершине,
пересекаются в двух точках, расположенных на прямой Эйлера треугольника.
\end{problem}


\begin{problem}
а) Вписанная окружность касается сторон треугольника $ABC$
в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Докажите, что прямая Эйлера треугольника
$A_1B_1C_1$ проходит через центр описанной окружности треугольника $ABC$.

б) В вершинах треугольника проведены касательные к его описанной окружности. Докажите, что центр описанной окружности треугольника, образованного этими тремя касательными, лежит на прямой Эйлера исходного
треугольника.
\end{problem}






\begin{problem}
 Капитан нашёл Остров Сокровищ, имеющий форму круга. На его берегу растут
шесть пальм. Капитан знает, что клад закопан в середине отрезка, соединяющего
ортоцентры (точки пересечения высот) треугольников $ABC$ и $DEF$, где $A$, $B$, $C$,
$D$, $E$, $F$ -- эти шесть пальм, но он не знает, какой буквой обозначена каждая
пальма. Докажите, что тем не менее он может найти клад с первой же попытки.
\end{problem}


\begin{problem}[{\bf В. Тебо}]
 $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ --- высоты остроугольного треугольника $ABC$. 
Докажите, что прямые Эйлера треугольников $AB_1C_1$, $BA_1C_1$, $CA_1B_1$,  пересекаются в одной точке. 

{\tt Замечание.} Продолжение этого сюжета можно найти в такой \href{http://geometry.ru/persons/kulanin/Thebault-feuerbach2.pdf}{статье}. \footnote{Статья: http://geometry.ru/persons/kulanin/Thebault-feuerbach2.pdf}
\end{problem}


\begin{problem}
% трудная задача. Док-во в статье из журнала. 
 Диагонали вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$($\angle APB \ne 60^{\circ}$). Докажите, что прямые 
Эйлера треугольников $APB$, $BPC$, $CPD$, $DPA$ пересекаются в одной точке. 

{\tt Замечание.} Подробное обсуждение этой задачи смотрите этой \href{http://jcgeometry.org/Articles/Volume1/JCG2012V1pp32-39.pdf}{статье}. \footnote{Статья: http://jcgeometry.org/Articles/Volume1/JCG2012V1pp32-39.pdf }
\end{problem}


% посмотреть Берловские задачи из питерских олимпиад.


\end{document}
