\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[dvips]{graphicx}

\usepackage{amssymb,amsmath,color,textcomp,amsthm,color,pstricks-add}
\usepackage[colorlinks, urlcolor=green, dvipdfm]{hyperref}
\usepackage{pgf,tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
%\usepackage[dvipdfm]{hyperref}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{problem}{}
\newtheorem{sol}{Решение задачи}
\pagestyle{empty}
\textwidth=530pt
\textheight=750pt
\oddsidemargin=20pt
\hoffset=-2cm
\topmargin=-30mm
\begin{document}

\begin{flushleft}

\hspace{14cm}
%14.12.2012
\end{flushleft}
\vspace{-9pt}
\hrule
\vspace{30pt}


\begin{center}
{\Large \textit{ \textbf{\underline{Лемма о вписанной окружности}}}}
\end{center}

%посмотреть Ayme

В  сюжете  можно проследить как одна олимпиадная задача(№1 в списке), ставшей классической, помогает решить целую 
серию трудных задач. 

{\tt Замечание.} Для решения ряда задач необходимо знакомство с {\it гомотетией}. 

\begin{problem}
а) Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AC$ в точке $D$, $DM$ -- её диаметр. 
Прямая $BM$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Докажите, что $AK=DC$. \footnote {Если решение этой задачи вызывает затруднение, то почитайте 
статью Г. Б. Филлиповского "Замечательная прямая треугольника"(доступно \href{http://geometry.ru/articles/fillipovsky_MIline.pdf}{тут}).}



б) В треугольнике $ABC$ через середину $M$ стороны $BC$ и центр $I$ вписанной в этот 
треугольник окружности проведена прямая $MI$, которая пересекает высоту $AH$ в точке $E$. Докажите, что отрезок $AE$ равен радиусу вписанной окружности.
\end{problem}

\begin{center}
 \includegraphics{main}
\end{center}



\begin{problem}
а) Вписанная окружность $\triangle ABC$ касается стороны $BC$ в точке $A_0$. 
$I_a$ --- центр вневписанной окружности; $M$ --- середина стороны $BC$. Докажите, что $AA_0 || MI_a$.

б) $I_a$, $I_b$, $I_c$ --- центры вневписанных окружностей; $A_0$, $B_0$, $C_0$ --- середины сторон $\triangle ABC$. 
Докажите, что прямые $I_aA_0$, $I_bB_0$, $I_cC_0$ конкурентны. 
\end{problem}



\begin{problem}[{\bf прямая Нагеля}]
 $A_1$, $B_1$, $C_1$ --- точки касания вневписанных окружностей со сторонами. Из теоремы Чевы следует, что отрезки $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ 
пересекаются в одной точке({\it точка Нагеля}). Докажите, что точка пересечения медиан, точка Нагеля и инцентр $\triangle ABC$ лежат на одной прямой. \footnote{Найдите 
тут треугольники  с параллельными сторонами и используйте гомотетию. }
\end{problem}


\begin{problem}
%финал 2007
Постройте треугольник, если 
даны центр вписанной в него 
окружности, середина одной из сторон 
и оснвание опущенной на эту сторону высоты. 
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf IMO 1992}]
 In the plane let $\omega$ be a circle, $l$ a line tangent to the circle $\omega$, and $M$ a point on $l$. Find
the locus of all points $P$ with the following property: there exists two points $Q$, $R$ on $l$ such that
$M$ is the midpoint of $QR$ and $\omega$ is the inscribed circle of triangle $PQR$.
\end{problem}


\begin{problem}
 Вневписанная окружность касается стороны $BC$ в точке $A_1$. Прямая $AA_1$ второй раз пересекает вписанную окружность в точке $P$. 
$M$ --- середина стороны $BC$. Докажите, что $PM$ касается вписанной окружности.
\end{problem}


\begin{problem}[{\bf Турнир Городов}]
 Дан треугольник $ABC$. В нем $H$ --- точка пересечения высот, $I$ --- центр вписанной
окружности, $O$ --- центр описанной окружности, $K$ -- точка касания вписанной окружности
со стороной $BC$. Известно, что отрезки $IO$ и $BC$ параллельны. Докажите, что отрезки $AO$ и
$HK$ параллельны.
\end{problem}


\begin{problem}
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. 
Окружность $\omega_1$ касается основания $BC$ в точке $M$ и 
продолжений сторон $AB$ и $CD$ за точки $B$ и $C$; окружность $\omega_2$ 
касается основания $AD$ в точке $N$ и продолжений сторон
$AB$ и $CD$ за точки $A$ и $B$. Докажите, что отрезок $MN$
проходит через точку пересечения диагоналей 
трапеции.  
\end{problem}


\begin{problem}
На хорде $AC$ окружности $\omega$ выбрали точку $B$. На отрезках
$AB$ и $BC$ как на диаметрах построили окружности $\omega_2$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$,
которые пересекают $\omega$ второй раз в точках $D$ и $E$ соответственно. Лучи $O_1D$ и $O_2E$
пересекаются в точке $F$. Лучи $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $G$. Докажите, что
прямая $FG$ проходит через середину $AC$.
\end{problem}


\begin{problem}
%IMO shorlist 2005
 а) In a triangle $ABC$ satisfying $AB + BC = 3AC$ the incircle has centre $I$ and 
touches the sides $AB$ and $BC$ at $D$ and $E$, respectively. Let $K$ and $L$ be the symmetric points of
$D$ and $E$ with respect to $I$. Prove that the quadrilateral $ACKL$ is cyclic.

б) Для такого треугольника точка Нагеля лежит на его вписанной окружности. Почему?
\end{problem}


\begin{problem}
%http://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=116189
 Пусть $A_1, B_1, C_1$ --- 
середины сторон треугольника $ABC$, $I$ --- 
центр вписанной в него окружности. $C_2$ --- точка пересечения прямых $C_1I$ и $A_1B_1$, $C_3$ --- 
точка пересечения прямых $CC_2$ и $AB$. Докажите, что прямая $IC_3$ перпендикулярна прямой $AB$.
\end{problem}



\begin{problem}[{\bf IMO-shortlist, 2002}]
The incircle $\omega$ of
$ABC$ touches its side $BC$ in $K$. 
Let $M$ be
the midpoint of the altitude $AD$ in $ABC$, 
and let the line $KM$ meet $\omega$ for
the second time in $N$ . 
Show that the circumcircle of $BCN$ touches $\omega$. 

а) Пусть $L$ -- точка касания вневписанной окружности; 
$I_a$ --- её центр; $P$ -- четвёртая 
вершина прямоугольника $KLI_aP$. Тогда 
$BK \cdot KC=IK \cdot KP$ ;

б) $IK \cdot KP=OK\cdot KN$, где $O$ --- 
центр прямоугольника ;

в) точка $O$ лежит на описанной 
окружности треугольника $BCN$; 

г) $O$ --- середина дуги $BOC$;

д) используя лемму Архимеда наоборот, 
докажите касание нужных окружностей. 
\end{problem}

Если Вам понравилась последняя задача, то рекомендуем посмотреть сюжет о сложной и 
очень красивой \href{http://geometry.ru/articles.htm#ivlevromania}{задаче Ивлева} \footnote{Доступно по адресу: http://geometry.ru/articles.htm\#ivlevromania}. 

\end{document}
