\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{amssymb,amsmath,textcomp,amsthm, multicol}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{problem}{}
\pagestyle{empty}
\textwidth=500pt
\textheight=700pt
\oddsidemargin=20pt
\hoffset=-2cm
\topmargin=-15mm

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \textit{ \textbf{\underline{ Изогональное сопряжение}}}}
\end{center}

% До этого нужно познакомиться с теоремой Чевы в фомрме синусов

\begin{problem}
Отразим прямые $AQ$, $BQ$, $CQ$ относительно соответствующих биссектрис. Полученные прямые вновь будут конкурентны.  
\end{problem}

Обозначим точку из предыдущей задачи через $Q'$. Тогда точки $Q$ и $Q'$ называю \textit{изогонально сопряжёнными}.

\begin{problem}
Ортоцентр и центр описанной окружности  изогонально сопряжены.
\end{problem}

\begin{problem}
 Во что переходят точки описанной окружности при изогональном сопряжении?
\end{problem}




\begin{problem}
 Касательные к описанной окружности треугольника $ABC$
в точках $B$ и $C$ пересекаются в точке $P$. Точка $Q$ симметрична точке $A$ 
относительно середины отрезка $BC$. Докажите, что точки $P$ и $Q$
изогонально сопряжены.
\end{problem}


\begin{problem}
%Понять антипараллельность. Середина A_1C_1
Высоты $AA_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ 
пересекаются в точке $H$ . Точка $B_0$ ---
середина стороны $AC$. Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных $BB_0$ и $HB_0$
относительно биссектрис углов $ABC$ и $AHC$ соответственно, лежит на прямой $A_1C_1$. 
\end{problem}


\begin{problem}
 Докажите, что при изогональном сопряжении окружность,
проходящая через вершины $B$ и $C$ и отличная от описанной окружности, переходит в окружность, проходящую через вершины $B$ и $C$.
\end{problem}


\begin{problem}
$AA_0$, $BB_0$, $CC_0$ -- высоты треугольника $ABC$, $H$ -- ортоцентр, $M$ -- произвольная точка. $A_1$ -- точка симметричная $M$ относительно $BC$; 
аналогично определим точки $B_1$, $C_1$. Докажите, что прямые $A_0A_1$, $B_0B_1$, $C_0C_1$ конкурентны.
\end{problem}


\begin{problem}
%Убойная задачка из Прасолова
 Из некоторой точки $P$ опущены перпендикуляры $PA_1$ и $PA_2$
на сторону $BC$ треугольника $ABC$ и на высоту $AA_3$. Аналогично
определяются точки $B_1$, $B_2$ и $C_1$, $C_2$. Докажите, что прямые 
$A_1A_2$,
$B_1B_2$ и $C_1C_2$ пересекаются в одной точке или параллельны.
\end{problem}

\begin{problem}
 В трапеции $ABCD$ боковая сторона $CD$ 
перпендикулярна основаниям, $O$ --- точка пересечения диагоналей. 
На описанной окружности треугольника $OCD$ взята точка $S$, диаметрально противоположная точке $O$. 
Докажите, что  $\angle BSC = \angle ASD$.
\end{problem}



\begin{problem}[{\bf extra bonus}]
%ММО, Заславский
 Стороны треугольника $ABC$ видны из точки $T$ под углами $120^{\circ}$. 
Докажите, что прямые, симметричные прямым $AT$ , $BT$ и $CT$ относительно прямых $BC$ , $CA$ и $AB$ соответственно, пересекаются в одной точке.
\end{problem}


\end{document}
