\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[dvips]{graphicx}
%\usepackage[dvipdfm]{hyperref}
\usepackage{amssymb,amsmath,textcomp,amsthm, multicol, color,wrapfig}
\usepackage[colorlinks, urlcolor=green, dvipdfm]{hyperref}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{problem}{}
\pagestyle{empty}
\textwidth=500pt
\textheight=770pt
\oddsidemargin=20pt
\hoffset=-2cm
\topmargin=-15mm

\begin{document}

\begin{center}
 {\Large \textit{ \textbf{\underline{  Одна задача }}}}
\end{center}




\begin{problem}
 В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ и из точки $D$ опущены перпендикуляры $DB'$ и $DC'$ на прямые $AC$ и $AB$;
точка $M$ лежит на прямой $B'C'$, причём $DM \perp BC$. Докажите, что
точка $M$ лежит на медиане $AA_0$.
\end{problem}

\begin{problem}
 Окружность с центром $I$ , вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $AC$ , $AB$ и $BC$ в точках $B'$ , $C'$ и $A'$ соответственно. 
 Медиана $AA_0$ треугольника пересекает $B'C'$ в точке $D$ . Докажите, что точка $I$ лежит на прямой $DA'$. 
\end{problem}

\begin{problem}[{\bf Л. Емельянов, С. Берлов}]
Вписанная окружность треугольника $ABC$ имеет центр $I$ и касается сторо $AB$, $BC$, $CA$ в точках 
$C'$, $A'$, $B'$ соответственно. Обозначим через $L$ --- основание биссекстрисы угла $A$, а через 
$D$ --- точку пересечения прямых $A'I$ и $B'C'$. Докажите, что $DL || AA'$.
\end{problem}

\begin{problem}
Вписанная окружность треугольника $ABC$ имеет центр $I$ и касается сторо $AB$, $BC$, $CA$ в точках 
$C'$, $A'$, $B'$ соответственно. Точка $B_1$ симметрична точке $B'$ относительно прямой $A'C'$, а точка $B_2$ --- 
точка пересечения $BB_1$ и $AC$; аналогично определяются точки $A_3$ и $C_3$. Докажите, что 
точки $A_2$, $B_2$, $C_2$ лежат на одной прямой, проходящей через центр описанной окружности треугольника $ABC$. 
\end{problem}


Заинтересованным ребятам можно рекомендовать почитать 
интересную статью Л. Емельянова:"On the Intercepts of the OI-Line", Forum Geometricorum Volume 4 (2004) 81–84 \\
(http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200411index.html).  
В статье имеется ссылка на другую интересную конструкцию, связанную с так называемой точкой 
Шиффлера, которая в свою очередь может служить темой  проекта для сильного школьника. 
\end{document}
