\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{amssymb,amsmath,textcomp,amsthm,multicol}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{problem}{}
\pagestyle{empty}
\textwidth=500pt
\textheight=750pt
\oddsidemargin=20pt
\hoffset=-2cm
\topmargin=-15mm
\newcommand{\ls}{\left(}
\newcommand{\rs}{\right)}
\begin{document}


\begin{center}
{\Large \textit{ \textbf{\underline{ Высоты и степень точки}}}}
\end{center}

\begin{problem}
 Докажите, что высоты пересекаются, используя степень точки. 
\end{problem}


\begin{problem}
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. 
Прямые $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $CA$ и $C_1A_1$ пересекаются в точках $C'$, $A'$ и $B'$. 

а) Д/ч точки $A'$, $B'$ и $C'$ лежат на радикальной оси окружности девяти точек и описанной окружности.

б) Биссектрисы внешних углов треугольника $ABC$ пересекают продолжения противоположных сторон в точках $A'$, $B'$ и $C'$. 
Д/ч точки $A'$, $B'$ и $C'$ лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ 
\end{problem}

\begin{problem}
 На сторонах $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты точки 
$A_1$ и $B_1$; $l$ -- прямая, проходящая через общие точки окружностей с диаметрами $AA_1$ и $BB_1$. Д/ч
 прямая $l$ проходит через точку $H$ пересечения высот треугольника $ABC$. 
\end{problem}


\begin{problem}
 Продолжения сторон $AB$ и $CD$ четырехугольника $ABCD$ 
пересекаются в точке $F$, а продолжения сторон $BC$ и $AD$ -- в точке $E$. 
Д/ч окружности с диаметрами $AC$, $BD$ и $EF$ имеют общую радикальную ось, причем на ней лежат ортоцентры треугольников  
$ABE$, $CDE$, $ADF$ и $BCF$.
\end{problem}

\begin{problem}
 Докажите, что три окружности, каждая из которых проходит через вершину треугольника, основание его
высоты, опущенной из этой вершины, и касается радиуса описанной окружности, проведенного к данной вершине,
пересекаются в двух точках, расположенных на прямой Эйлера треугольника.
\end{problem}


\begin{problem}
%M1492
 $M$ --- произвольная точка плоскости $AH$, $BK$ и $CL$ --- высоты треугольника
$ABC$. Докажите, что описанные окружности треугольников $AHM$, $BKM$ и $CLM$
пересекаются ещё в некоторой точке, отличной от точки $M$.
\end{problem}



\begin{problem}
а) Докажите, что проекция ортоцентра на медиану, ортоцентр и две вершины треугольника лежат на одной окружности. 

б)Высоты $AA_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Прямые $A_1C_1$ и $AC$ 
пересекаются в точке $K$. Докажите, что прямая $HK$ перпендикулярна медиане треугольника $ABC$. 

в) Медианы $AM_a$, $CM_b$ треугольника  $ABC$ ($\angle B=120^{\circ}$) пересекают описанную окружность в точках $A'$, $C'$. 
$A''$ -- точка, симметричная  $A'$ 
относительно точки $M_a$; $C''$ определяется аналогично. 
Докажите, что точки $B$, $A''$, $C''$, $H$ лежат на одной окружности. 
\end{problem}


\begin{problem}

 $BH$ --- высота остроугольного треугольника $ABC$; $A_0$, $B_0$, $C_0$ --- середины сторон $CB$, $AC$, $AB$ соответственно. 
Описанные окружности треугольников $AC'H$, $CA'H$ повторно пересекаются в точке $L$. Докажите, что 
$\angle CBL=\angle ABB'$. 
\end{problem}


\begin{problem}[{\bf сюжет одной задачи}]

 $P$ --- произвольная точка на высоте $AD$ остроугольного треугольника
$ABC$. $Q$, $R$ --- основания перпендикуляров, опущенных 
из точки $P$ на стороны $AB$ и $AC$. Прямые $PQ$, $PR$ 
повторно пересекают прямую $BC$ в точках $S$, $T$ соответственно.
 
а) Докажите, что точки $B$, $Q$, $R$, $C$ лежат на одной 
окружности. 

б) И про точки $Q$, $R$, $S$, $T$ докажите. 

в) Пусть описанные окружности треугольников 
$BQS$, $CRT$ пересекают прямую $QR$ в точках $X$, $Y$ 
соответственно. Докажите, что прямые $SX$, $TY$, $AD$ конкурентны.
\end{problem}

\begin{problem}
% заочный тур 2009 год, №20
В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $H$ --- ортоцентр,
$O$ --- центр описанной окружности, $AA_1$ , $BB_1$ и $CC_1$ --- высоты. Точка $C_2$ симметрична $C$ относительно $A_1B_1$. 
Докажите, что $H$, $O$, $C_1$ и $C_2$ лежат на одной окружности.
\end{problem}


\begin{problem}

 Окружность, проходящая через вершины $A$ и $C$, треугольника $ABC$ пересекает стороны $AB$, $BC$ в точках 
$A_1$, $C_1$ соответственно; $H$, $H_1$ --- ортоцентры треугольников $ABC$, $A_1BC_1$ соответственно. 
Докажите, что прямые  $AA_1$, $CC_1$, $HH_1$ конкурентны.
\end{problem}


\end{document}