\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{amssymb,amsmath,textcomp,amsthm}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{problem}{Задача}
\pagestyle{empty}
\textwidth=550pt
\textheight=750pt
\oddsidemargin=0pt
\hoffset=-2cm
\topmargin=-15mm
\newcommand{\ls}{\left(}
\newcommand{\rs}{\right)}
\begin{document}
\begin{center}
{\Large\textit{\textbf{\underline{Задача Произволова В. В.}}}}
\end{center}

\vspace{20pt}
\begin{center}
\includegraphics{kvadrat.eps}
\end{center}

Дан единичный квадрат $ABCD$($AB=1$). Точки $P$ и $Q$ выбраны на сторонах $BC$ и $CD$. Докажите, что следующие утверждения равносильны:

1) $\angle PAQ=45^{\circ}$;

2) $MN^{2}=BM^{2}+ND^{2}$;

3) $P_{CPQ}=2$;

4) расстояние от точки $A$ до прямой $PQ$ равно 1;

5)$S_{AMN}=\frac{1}{2}S_{APQ}$

6) $PQ=\sqrt{2}\cdot MN$;

7) $PQ^{2}=2(BM^{2}+ND^{2})$;

8) прямая, проходящая через $A$ и точку пересечения отрезков $MQ$ и $NP$, перпендикулярна $PQ$;

9) $AN=NP$.

Видимо, это не все свойства, которыми обладает данная конструкция, поэтому очень интересны любые \textbf{ваши} находки в данной задаче.


\begin{problem}
 Окружность с центром на диагонали АС квадрата АВСD пересекает стороны квадрата так, как показано на рисунке. Найдите угол МАК
\end{problem}

\end{document}


