\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{amssymb,amsmath,textcomp,amsthm, multicol}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{problem}{}
\pagestyle{empty}
\textwidth=500pt
\textheight=770pt
\oddsidemargin=10pt
\hoffset=-2cm
\topmargin=-35mm

\begin{document}


\begin{center}
{\Large \textit{ \textbf{ \underline{Угол между стороной и радиусом}}}}
\end{center}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1.3]{radiusangle} 
\end{center}

\begin{problem}
  Докажите утверждение с картинки.
\end{problem}


\begin{problem}
$O$ -- центр описанной окружности треугольника $ABC$; $BB_1$, $CC_1$ -- высоты. Докажите, что $OA \perp B_1C_1$. 
\end{problem}


\begin{problem}
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность,
центр $O$ которой лежит внутри него. Доказать, что если $\angle BAO = \angle DAC$,
то диагонали четырёхугольника перпендикулярны. 
\end{problem}


\begin{problem}
% Квант 2012
 Точка $P$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$. 
Прямая $BP$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $R$. 
Точки $O_a$ и $O_c$ – центры описанных окружностей треугольников $APR$ и $CPR$ соответственно. Докажите, что прямые 
$AO_a$ и $CO_c$ пересекаются на высоте треугольника 
$ABC$. 
\end{problem}

\begin{problem}

Диагонали вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $M$. 
$O$ -- центр описанной окружности треугольника $BOC$. Докажите, что $MO\perp AD$.

\end{problem}

\begin{problem}
%new ? :-)
 Биссектриса угла $AA_1$ пересекает описанную окружность равнобедренного($AB=BC$) треугольника  $ABC$  в точке $A_2$.
$I$ -- инцентр. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $IBA_2$ лежит на стороне $BC$. 
\end{problem}


\begin{problem}
 Дан треугольник $ABC$. На стороне $AC$ выбираются произвольная точка $K$ и такая точка $L$, что  $\angle ABK = \angle CBL$.  
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников 
$KBL$ лежат на одной прямой. 
\end{problem}

\begin{problem}
 Произвольная прямая, проходящая через вершину $B$ треугольника $ABC$, пересекает 
сторону $AC$ в точке $K$, а описанную окружность в точке $M$. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников $AMK$.
\end{problem}

\begin{problem}
 Точки $A, B, C$ и $D$ лежат на окружности с центром $O$.
Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, а описанные окружности
треугольников $AEC$ и $BED$ пересекаются в точках $E$ и $P$. Докажите, что:

%а) точки $A, D, P$ и $O$ лежат на одной окружности;

 $\angle EPO = 90^{\circ}$.
\end{problem}



\begin{problem}
 В треугольнике $ABC$ точка $I$ --- центр вписанной окружности, точки $I_a$ ,
$I_c$ --- центры вневписанных окружностей, касающихся сторон $BC$ и $AB$ соответственно.
Точка $O$ --- центр описанной окружности треугольника $II_aI_c$ . Докажите, что $OI\perp AC$.
\end{problem}

\begin{problem}
%квант 2007
 Точка $D$ вне остроугольного треугольника $ABC$ такова, что $\angle ABC+\angle ABD=\angle ACB+\angle ACD=180^{\circ}$. 
Докажите, что центр описанной окружности треугольника 
$ABC$ лежит на отрезке $AD$.
\end{problem}


\begin{problem}
 $H$ --- ортоцентр треугольника $ABC$. $O_a$, $O_c$ -- центры описанных окружностей треугольников $AHB$, $CHB$. 
Докажите, что $O_aO_c=AC$.
\end{problem}


\begin{problem}
% порешать. вроде бы, в кассу.
Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. 
Через произвольную точку $X$ первой окружности проведена прямая $XA$, 
которая пересекает вторую окружность в точке $Y$. Найдите г.м.т. центров окружностей описанных около треугольника $BXY$. 
\end{problem}


\begin{problem}
$B_0$ -- середина стороны $AC$ треугольника $ABC$. $B_0A_1$, $B_0C_1$ -- перпендикуляры из точки $B_0$ на cтороны $AB$, $AC$ соответственно. 
$B'$ -- середина отрезка $A_1C_1$. Докажите, что $B_0B' || BO$, где $O$ --- центр описанной окружности $\triangle ABC$.  
\end{problem}




\end{document}

